Question 1 - HW 7

R₄ = GF(2)[x]/(x⁴+1)
x⁴ = 1

Multiplication

	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000
0001	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0010	0000	0010	0100	0110	1000	1010	1100	1110	0001	0011	0101	0111	1001	1011	1101	1111
0011	0000	0011	0110	0101	1100	1111	1010	1001	1001	1010	1111	1100	0101	0110	0011	0000
0100	0000	0100	1000	1100	0001	0101	1001	1101	0010	0110	1010	1110	0011	0111	1011	1111
0101	0000	0101	1010	1111	0101	0000	1111	1010	1010	1111	0000	0101	1111	1010	0101	0000
0110	0000	0110	1100	1010	1001	1111	0101	0011	0011	0101	1111	1001	1010	1100	0110	0000
0111	0000	0111	1110	1001	1101	1010	0011	0100	1011	1100	0101	0010	0110	0001	1000	1111
1000	0000	1000	0001	1001	0010	1010	0011	1011	0100	1100	0101	1101	0110	1110	0111	1111
1001	0000	1001	0011	1010	0110	1111	0101	1100	1100	0101	1111	0110	1010	0011	1001	0000
1010	0000	1010	0101	1111	1010	0000	1111	0101	0101	1111	0000	1010	1111	0101	1010	0000
1011	0000	1011	0111	1100	1110	0101	1001	0010	1101	0110	1010	0001	0011	1000	0100	1111
1100	0000	1100	1001	0101	0011	1111	1010	0110	0110	1010	1111	0011	0101	1001	1100	0000
1101	0000	1101	1011	0110	0111	1010	1100	0001	1110	0011	0101	1000	1001	0100	0010	1111
1110	0000	1110	1101	0011	1011	0101	0110	1000	0111	1001	1010	0100	1100	0010	0001	1111
1111	0000	1111	1111	0000	1111	0000	0000	1111	1111	0000	0000	1111	0000	1111	1111	0000

Addition

	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0000	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0001	0001	0000	0011	0010	0101	0100	0111	0110	1001	1000	1011	1010	1101	1100	1111	1110
0010	0010	0011	0000	0001	0110	0111	0100	0101	1010	1011	1000	1001	1110	1111	1100	1101
0011	0011	0010	0001	0000	0111	0110	0101	0100	1011	1010	1001	1000	1111	1110	1101	1100
0100	0100	0101	0110	0111	0000	0001	0010	0011	1100	1101	1110	1111	1000	1001	1010	1011
0101	0101	0100	0111	0110	0001	0000	0011	0010	1101	1100	1111	1110	1001	1000	1011	1010
0110	0110	0111	0100	0101	0010	0011	0000	0001	1110	1111	1100	1101	1010	1011	1000	1001
0111	0111	0110	0101	0100	0011	0010	0001	0000	1111	1110	1101	1100	1011	1010	1001	1000
1000	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
1001	1001	1000	1011	1010	1101	1100	1111	1110	0001	0000	0011	0010	0101	0100	0111	0110
1010	1010	1011	1000	1001	1110	1111	1100	1101	0010	0011	0000	0001	0110	0111	0100	0101
1011	1011	1010	1001	1000	1111	1110	1101	1100	0011	0010	0001	0000	0111	0110	0101	0100
1100	1100	1101	1110	1111	1000	1001	1010	1011	0100	0101	0110	0111	0000	0001	0010	0011
1101	1101	1100	1111	1110	1001	1000	1011	1010	0101	0100	0111	0110	0001	0000	0011	0010
1110	1110	1111	1100	1101	1010	1011	1000	1001	0110	0111	0100	0101	0010	0011	0000	0001
1111	1111	1110	1101	1100	1011	1010	1001	1000	0111	0110	0101	0100	0011	0010	0001	0000

Multiplication - Polynomial Form

	0	1	x¹	x¹ + 1	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	x¹	x¹ + 1	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1
x¹	0	x¹	x²	x² + x¹	x³	x³ + x¹	x³ + x²	x³ + x² + x¹	1	x¹ + 1	x² + 1	x² + x¹ + 1	x³ + 1	x³ + x¹ + 1	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹ + 1
x¹ + 1	0	x¹ + 1	x² + x¹	x² + 1	x³ + x²	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + 1	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x²	x² + 1	x² + x¹	x¹ + 1	0
x²	0	x²	x³	x³ + x²	1	x² + 1	x³ + 1	x³ + x² + 1	x¹	x² + x¹	x³ + x¹	x³ + x² + x¹	x¹ + 1	x² + x¹ + 1	x³ + x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1
x² + 1	0	x² + 1	x³ + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x² + 1	0	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	0	x² + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x¹	x² + 1	0
x² + x¹	0	x² + x¹	x³ + x²	x³ + x¹	x³ + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x² + 1	x¹ + 1	x¹ + 1	x² + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x²	x² + x¹	0
x² + x¹ + 1	0	x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + 1	x³ + x² + 1	x³ + x¹	x¹ + 1	x²	x³ + x¹ + 1	x³ + x²	x² + 1	x¹	x² + x¹	1	x³	x³ + x² + x¹ + 1
x³	0	x³	1	x³ + 1	x¹	x³ + x¹	x¹ + 1	x³ + x¹ + 1	x²	x³ + x²	x² + 1	x³ + x² + 1	x² + x¹	x³ + x² + x¹	x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1
x³ + 1	0	x³ + 1	x¹ + 1	x³ + x¹	x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x² + 1	x³ + x²	x³ + x²	x² + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x² + x¹	x³ + x¹	x¹ + 1	x³ + 1	0
x³ + x¹	0	x³ + x¹	x² + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x¹	0	x³ + x² + x¹ + 1	x² + 1	x² + 1	x³ + x² + x¹ + 1	0	x³ + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x² + 1	x³ + x¹	0
x³ + x¹ + 1	0	x³ + x¹ + 1	x² + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + x¹	x² + 1	x³ + 1	x¹	x³ + x² + 1	x² + x¹	x³ + x¹	1	x¹ + 1	x³	x²	x³ + x² + x¹ + 1
x³ + x²	0	x³ + x²	x³ + 1	x² + 1	x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x¹	x² + x¹	x² + x¹	x³ + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x¹ + 1	x² + 1	x³ + 1	x³ + x²	0
x³ + x² + 1	0	x³ + x² + 1	x³ + x¹ + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + x²	1	x³ + x² + x¹	x¹ + 1	x² + 1	x³	x³ + 1	x²	x¹	x³ + x² + x¹ + 1
x³ + x² + x¹	0	x³ + x² + x¹	x³ + x² + 1	x¹ + 1	x³ + x¹ + 1	x² + 1	x² + x¹	x³	x² + x¹ + 1	x³ + 1	x³ + x¹	x²	x³ + x²	x¹	1	x³ + x² + x¹ + 1
x³ + x² + x¹ + 1	0	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1	0	x³ + x² + x¹ + 1	0	0	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1	0	0	x³ + x² + x¹ + 1	0	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1	0

Addition - Polynomial Form

	0	1	x¹	x¹ + 1	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1
0	0	1	x¹	x¹ + 1	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1
1	1	0	x¹ + 1	x¹	x² + 1	x²	x² + x¹ + 1	x² + x¹	x³ + 1	x³	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹
x¹	x¹	x¹ + 1	0	1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x²	x² + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1
x¹ + 1	x¹ + 1	x¹	1	0	x² + x¹ + 1	x² + x¹	x² + 1	x²	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + 1	x³	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²
x²	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	0	1	x¹	x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1
x² + 1	x² + 1	x²	x² + x¹ + 1	x² + x¹	1	0	x¹ + 1	x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + 1	x³	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹
x² + x¹	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x²	x² + 1	x¹	x¹ + 1	0	1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³	x³ + 1
x² + x¹ + 1	x² + x¹ + 1	x² + x¹	x² + 1	x²	x¹ + 1	x¹	1	0	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + 1	x³
x³	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	0	1	x¹	x¹ + 1	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1
x³ + 1	x³ + 1	x³	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	1	0	x¹ + 1	x¹	x² + 1	x²	x² + x¹ + 1	x² + x¹
x³ + x¹	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x¹	x¹ + 1	0	1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x²	x² + 1
x³ + x¹ + 1	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + 1	x³	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²	x¹ + 1	x¹	1	0	x² + x¹ + 1	x² + x¹	x² + 1	x²
x³ + x²	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x²	x² + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	0	1	x¹	x¹ + 1
x³ + x² + 1	x³ + x² + 1	x³ + x²	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + 1	x³	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x² + 1	x²	x² + x¹ + 1	x² + x¹	1	0	x¹ + 1	x¹
x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x²	x³ + x² + 1	x³ + x¹	x³ + x¹ + 1	x³	x³ + 1	x² + x¹	x² + x¹ + 1	x²	x² + 1	x¹	x¹ + 1	0	1
x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹ + 1	x³ + x² + x¹	x³ + x² + 1	x³ + x²	x³ + x¹ + 1	x³ + x¹	x³ + 1	x³	x² + x¹ + 1	x² + x¹	x² + 1	x²	x¹ + 1	x¹	1	0